B. Le 4 décembre 2012, l’Etat de Vaud, représenté par le
K.________, lui-même représenté par Me Didier Elsig (ci-après notamment :
le demandeur principal ou le demandeur), a ouvert une action de droit
administratif contre CSS Assurance-maladie SA (ci-après : la
défenderesse), devant le Tribunal arbitral des assurances du canton de
Vaud. Il a conclu, en substance, à la condamnation de CSS Assurancemaladie SA au paiement, en faveur de l’Etat de Vaud, d’un montant de
10'468 fr. 10, avec intérêt à 5% dès le 25 août 2010 (facture n° [...] du 24
juillet 2010), d’un montant de 7'287 fr.