de l’arrondissement de J***, tendant à la fixation de la contribution
d’entretien due par le recourant en faveur de ses deux enfants. Cette
procédure a été attribuée à la présidente G.________ (ci-après : la présidente
ou la magistrate intimée), qui a repris le dossier de la cause pendante
devant la justice de paix.

Au cours de cette procédure, plusieurs conventions de mesures
provisionnelles ont été conclues par les parties, plusieurs audiences ont été
tenues et de nombreuses décisions ont été rendues par la présidente
intimée. Il n’y a pas lieu d’exposer de manière détaillée toutes ces étapes,
mais seulement dans la mesure utile à la compréhension du présent arrêt.