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2. Eventuell sei die Angelegenheit zur Weiterbehandlung und zum Neuentscheid
an die Vorinstanz zurückzuweisen.

3. Alles unter Kosten- und Entschädigungsfolgen zulasten der Vorinstanzen und
der Beschwerdegegnerin.

E. Das Sicherheitsdepartement beantragt mit Vernehmlassung vom 27. Mai
2016 die Abweisung der Beschwerde unter Kostenfolge zulasten der
Beschwerdeführer. Die sinngemäss gleichen Anträge stellen vernehmlassend am
9. Juni 2016 bzw. 4. Juli 2016 auch der Gemeinderat Z.________ sowie die
G.________.

Das Verwaltungsgericht zieht in Erwägung: