Die Beschwerde erweist sich nach dem Ausgeführten als begründet und ist daher gutzuheissen. Die EG Y ist anzuweisen, der Beschwerdeführerin eine Hundesteuer von CHF 80 in Rechnung zu stellen.
4. Bei diesem Verfahrensausgang hat die unterliegende Gemeinde die Kosten zu tragen; sie hat eigene finanzielle Interessen vertreten und wird daher kostenpflichtig (vgl. Solothurnische Gerichtspraxis SOG 2010 Nr. 20 E. 13d). Die Gerichtskosten sind in Anwendung der §§ 3 und 150 GT auf CHF 1'000 festzusetzen (Grundgebühr; kein Zuschlag). Eine Parteientschädigung ist nicht geschuldet, da die Beschwerdeführerin sich selbst vertreten hat.
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Demnach wird erkannt:
1.