Demnach wird erkannt:
1. Die Verfügung des Betreibungsamtes Region Solothurn vom 18. August 2020 wird in Gutheissung der Beschwerde aufgehoben und das Betreibungsamt Regi-on Solothurn angewiesen, die Betreibung Nr. [...] an Dritte nicht bekanntzugeben.
2. Es werden weder eine Parteientschädigung zugesprochen noch Kosten erhoben.
Rechtsmittel: Gegen diesen Entscheid kann innert 10 Tagen seit Eröffnung des begründeten Urteils beim Bundesgericht Beschwerde in Zivilsachen eingereicht werden (Adresse: 1000 Lausanne 14). Die Frist wird durch rechtzeitige Aufgabe bei der Schweizerischen Post gewahrt. Die Frist ist nicht erstreckbar.