Demnach hätte das Betreibungsamt die Retention nicht aufheben dürfen. Selbst wenn nun durch die Retentionsschuldnerin allfällige Zweifel an ihrer Schuldner- bzw. Mieterschaft aufgeworfen worden sind, ist dadurch nicht unzweifelhaft erstellt, dass kein Retentionsrecht besteht. Damit ist die verfügte Retention bis zum allfälligen Entscheid des Zivilrichters in dieser Frage zulässig und somit wieder einzusetzen.
3. Die Beschwerde ist demnach im Sinne der obigen Erwägungen gutzuheissen und die Verfügung des Betreibungsamtes Region Solothurn vom 23. Juni 2016 ist aufzuheben. Das Beschwerdeverfahren ist nach Art. 20a SchKG und Art. 61 Abs. 2 lit. a GebV SchKG unentgeltlich.