Die Berufung wird teilweise gutgeheissen und die Ziffern 2 und 3 des Urteils der Amtsgerichtspräsidentin von Olten-Gösgen vom 14. November 2016 werden aufgehoben.
2. Im Übrigen wird die Berufung abgewiesen.
3. Die A.___ AG hat die Kosten des obergerichtlichen Verfahrens von CHF 1‘000.00 zu bezahlen. Diese werden mit dem von ihr geleisteten Kostenvorschuss in gleicher Höhe verrechnet.
4. Die A.___ AG hat dem Handelsregisteramt des Kantons Solothurn für das Verfahren vor Obergericht eine Parteientschädigung von CHF 100.00 zu bezahlen.
Rechtsmittel: Der Streitwert beträgt mehr als CHF 30‘000.00.