Demnach wird erkannt:
1. Die Berufung wird teilweise gutgeheissen, soweit darauf einzutreten ist.
2. Ziffer 1 des Urteils des Amtsgerichtspräsidenten von Solothurn-Lebern vom 15. Juli 2016 wird aufgehoben und lautet neu wie folgt: Das Grundbuchamt Region Solothurn wird angewiesen, das gemäss Verfügung vom 10. Juni 2015 bzw. Urteil vom 26. Juni 2015 auf GB [...], vorläufig eingetragene Bauhandwerkerpfandrecht zugunsten der C.___ AG, [...], definitiv mit einer Pfandsumme von CHF 17‘392.80 zuzüglich Zins zu 5% seit 9. Juni 2015 einzutragen.
3. Die Gerichtskosten des erstinstanzlichen Verfahrens von CHF 3‘000.00 haben A.___ und B.___