So resultiert ein Betrag von CHF 3'278.80 (11.71 Stunden à CHF 280.00). Zuzüglich Spesen von CHF 71.30 und Mehrwertsteuer von 8.1 % ergibt sich ein zu vom Kanton Solothurn zu entschädigender Betrag von CHF 3'621.45.
Demnach wird erkannt:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen. Die Verfügung der Amtschreiberei Olten-Gösgen, Erbschaftsamt, vom 1. Mai 2024 wird aufgehoben. Die Amtschreiberei Olten-Gösgen, Erbschaftsamt, wird angewiesen die Dokumente vom 23. Juni 2016 formell an A.___ zu eröffnen.
2. Die Kosten des obergerichtlichen Verfahrens gehen zu Lasten des Staates.