Demnach wird erkannt:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen, soweit darauf eingetreten wird.
2. Die Verfügung vom 2. Juni 2021 der Amtschreiberei Olten-Gösgen, Erbschaftsamt, wird aufgehoben.
3. Die Amtschreiberei Olten-Gösgen, Erbschaftsamt, wird angewiesen, sämtliche mutmasslichen Erben im Nachlassverfahren mit der Dossier-Nr. [...] zu einer Inventarsverhandlung einzuladen, an der die Teilung der Erbschaft von B.___ sel. anzustreben ist. Die Amtschreiberei Olten-Gösgen, Erbschaftsamt, wird ferner angewiesen, den mutmasslichen Erben Kenntnis vom Inventarsakt zu geben und das Nachlassverfahren im Einklang mit den einschlägigen gesetzlichen Bestimmungen abzuschliessen.