Demnach wird beschlossen:
1. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde – soweit darauf einzutreten ist – wird Ziffer 1 des Nachentscheids des Amtsgerichts von Solothurn-Lebern vom 6. September 2019 aufgehoben.
2. Die für A.___ mit Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 8. Mai 2014 angeordnete stationäre Massnahme wird ab dem 8. Mai 2019 um drei Jahre verlängert.
3. Die Entschädigung des amtlichen Verteidigers von A.___, Rechtsanwalt Julian Burkhalter, [...], wird für das erstinstanzliche Verfahren auf CHF 7'787.35 festgesetzt und ist zufolge amtlicher Verteidigung vom Staat zu zahlen.