Demnach wird erkannt:
1. Der Kanton Solothurn hat dem Beschwerdeführer für die Zeit des ungerechtfertigten Freiheitsentzugs vom 14. April 2015 bis 16. September 2016 eine Entschädigung von CHF 52’100.00, zuzüglich Zins von 5 % seit 31. Dezember 2015, zu bezahlen.
2. Die Entschädigung des amtlichen Verteidigers des Beschwerdeführers, Rechtsanwalt Konrad Jeker, wird für das Verfahren vor Amtsgericht Olten-Gösgen auf CHF 15‘294.10 (inkl. Auslagen und MwSt.) festgesetzt, zahlbar durch den Staat Solothurn (auszuzahlen waren noch CHF 14‘654.20).