5. Dem Ausgang des Beschwerdeverfahrens gemäss hat der Staat Solothurn dessen Kosten zu tragen (Art. 428 Abs. 1 StPO).
Demnach wird erkannt:
1. Die Beschwerde wird gutgeheissen und Ziffer 1 der Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 2. Oktober 2017 im Sinne der Erwägungen aufgehoben.
2. Die Sache geht zur erneuten Prüfung des Erlassgesuches an die Staatsanwaltschaft.
3. Die Kosten des Beschwerdeverfahrens hat der Staat Solothurn zu tragen.
Rechtsmittel: Gegen diesen Entscheid kann innert 30 Tagen seit Erhalt des begründeten Urteils beim Bundesgericht Beschwerde in Strafsachen eingereicht werden (Adresse: 1000 Lausanne 14).