Zwei Drittel, d.h. CHF 3‘880.00, gehen zu Lasten des Staates.
Demnach wird erkannt:
1. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird der Nachentscheid des Amtsgerichts Olten-Gösgen vom 14. Januar 2016 aufgehoben.
2. Die für A.___ mit Urteil des Obergerichts des Kantons Solothurn vom 14. April 2010 angeordnete stationäre Massnahme wird nicht verlängert.
3. Es wird eine ambulante Behandlung angeordnet, verbunden mit Bewährungshilfe.
4. Zur Einleitung der ambulanten Behandlung wird der stationäre Massnahmenvollzug einstweilen aufrechterhalten. Der Antrag von A.___ auf umgehende Entlassung aus dem Straf- und Massnahmenvollzug wird in diesem Sinne abgewiesen.