Demnach wird erkannt:
1. In Gutheissung der Beschwerde wird Ziffer 2 der Verfügung der Staatsanwaltschaft vom 19. August 2016 aufgehoben.
2. Der Staat Solothurn hat dem Beschuldigten A.___, vertreten durch Rechtsanwalt Dr. Hans Henzen, eine durch die Zentrale Gerichtskasse auszahlbare Entschädigung von CHF 3‘424.70 auszurichten.
3. Die Kosten des Beschwerdeverfahrens hat der Staat Solothurn zu tragen.
4. Der Staat Solothurn hat dem Beschwerdeführer A.___, vertreten durch Rechtsanwalt Dr. Hans Henzen, für das Beschwerdeverfahren eine Entschädigung von CHF 1‘830.60 auszurichten.
Dieser Entscheid ist schriftlich zu eröffnen an:
Rechtsmittel: