Erwägungen

1. Die Rekursvoraussetzungen sind sowohl hinsichtlich der Zuständigkeit und Rekursberechtigung als auch in Bezug auf die Form- und Fristerfordernisse erfüllt (Art. 43bis ff. des Gesetzes über die Verwaltungsrechtspflege [sGS 951.1; abgekürzt VRP]). Auf den Rekurs ist einzutreten.

2.
2.1. Gemäss Art. 170 Abs. 1 des Landwirtschaftsgesetzes (SR 910.1;
abgekürzt LwG) kann das Landwirtschaftsamt Beiträge kürzen oder verweigern, wenn der Gesuchsteller oder die Gesuchstellerin das Landwirtschaftsgesetz selber, dessen Ausführungsbestimmungen oder die gestützt darauf erlassenen Verfügungen verletzt hat.