Dem Verfahrensausgang zufolge sind die amtlichen Kosten der Vorinstanz aufzuerlegen. Auf deren Erhebung ist zu verzichten (Art. 95 Abs. 3 VRP).

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Entscheid

1. Der Rekurs von A.___ vom 16. Oktober 2023 wird insofern gutgeheissen, als der Entscheid vom 2. Oktober 2023 aufgehoben wird und

a. die sozialen Dienste B.___ werden im Sinn von Ziffer 3.3.2 der Erwägungen zur Nachzahlung an den Rekurrenten verpflichtet.