A. J. B. a été hospitalisé à l'Hôpital X. du 3 au 14 janvier 1995. Il a signé divers documents lors de l'entrée dans l'établissement, selon lesquels il devait être hospitalisé en classe demi-privée (d'après l'hôpital en raison du manque de place en classe privée). Par la suite, l'hôpital a été informé par la caisse-maladie du prénommé (caisse-maladie W.) que celle-ci prendrait en charge le forfait des frais médicaux et pharmaceutiques par 287 francs par jour, plus la taxe d'entrée. En revanche, l'assurance Y. (censée couvrir les frais complémentaires d'hospitalisation en chambre privée) a fait savoir qu'elle refusait de verser des prestations "pour raisons administratives".