Dans ces circonstances, il convient d'admettre le recours et de renvoyer la cause au Service d'action sociale de [...] afin qu'il procède au sens du considérant 3c) et rende sur cette base une nouvelle décision.
5. Il est statué sans frais la procédure étant gratuite (art. 36 LASoc). Il n'y a en outre pas lieu à allocation de dépens.
Par ces motifs,
la Cour de droit public
1. Admet le recours.
2. Annule la décision du Département de la santé et des affaires sociales du 26 mars 2010 et celle du Service d'action sociale de [...] du 24 avril 2009.
3. Renvoie la cause au Service d'action sociale de [...] au sens des considérants.
4. Statue sans frais et n'alloue pas de dépens.
Neuchâtel, le 12 janvier 2012