Toutefois, étant donné qu'il ne peut en règle générale pas être alloué de dépens pour la procédure d'opposition (art. 52 al. 3 LPGA), les dépens pour la présente procédure seront fixés en fonction de l'activité du mandataire postérieurement à la décision entreprise, qui représente 4 ½ heures. Les honoraires s'élèvent ainsi à 1'260 francs, auxquels s'ajoutent les frais indiqués par 158.67 francs et la TVA par 7,6 %, le total étant de 1'526.50 francs.
Par ces motifs,
la Cour de droit public
1. Admet le recours et annule les décisions de l'intimée du 12 novembre 2009 et 6 octobre 2009.
2. Statue sans frais.
3.