La Cour de céans renoncera en conséquence à la perception des frais. Pour le surplus la demanderesse qui succombe, pas plus que l’EHM (art. 48 LPJA) n’ont droit à des dépens.
Par ces motifs,
la Cour de droit public
1. Rejette la demande dans toutes ses conclusions.
2. Déclare sans objet les conclusions 1, 2 et 3 de la réponse et demande reconventionnelle du défendeur, au sens des considérants.
3. Statue sans frais ni allocation de dépens.
Neuchâtel, le 4 décembre 2012