Il est statué sans frais, la procédure étant en principe gratuite (art. 61 let. a LPGA). Le recourant qui intervient sans l'appui d'un mandataire professionnel et qui n'allègue pas de frais particuliers n'a pas droit à des dépens.
Par ces motifs,
la Cour de droit public
1. Admet le recours.
2. Annule les décisions de l'intimée du 1er septembre 2009 et du 5 octobre 2009.
3. Statue sans frais ni allocation de dépens.
Neuchâtel, le 30 mars 2011
1 Le droit de l’assuré à l’indemnité est suspendu lorsqu’il est établi que celui-ci:2
a.
est sans travail par sa propre faute;