Elle doit être rejetée sans qu'il soit nécessaire de procéder à l'administration d'autres preuves.
Vu le sort de la cause, les demandeurs en supporteront les frais qui comprennent ceux de l'expertise médicale judiciaire.
Il n'y a en outre pas lieu à allocation de dépens (art. 48 al. 1 LPJA).
Par ces motifs,
la Cour de droit public
1. Donne acte au défendeur du désistement partiel par les demandeurs de leur conclusion principale no 1.
2. Rejette la demande pour le surplus.
3. Met à la charge des demandeurs un émolument de décision et les débours par 5'200 francs, montant compensé par leurs avances.
4. N'alloue pas de dépens.
Neuchâtel, le 3 novembre 2011