Le 2 novembre 2006, la commune de Y. et le Département de la justice, de la santé et des finances (ci-après: DJSF ou le département) ont conclu un contrat de prestations concernant la prise en charge de la gestion des activités de police sur le territoire de la commune de Y. Selon l'article 6 de ce contrat, le personnel de la Police communale de Y. est transféré à la Police cantonale sous réserve de l'article 7. Ce dernier prévoit que la Police cantonale n'est tenue d'intégrer dans son corps que les membres aptes à servir dans la police au sens du règlement d'exécution de la loi sur la Police cantonale du 25 mai 2005, sous réserve de l'accomplissement réussi d'une formation complémentaire.