A. a) X.________ a été engagé le 1er septembre 2012 au service de la société Y.________. Dans ce cadre, il était assuré, auprès notamment de l’assurance A.________ SA (ci-après : A.________ SA), pour la perte de gain en cas de maladie.
b) Dès 2014, X.________ s’est trouvé en incapacité de travail. Pour la période d’incapacité, A.________ SA a versé, en 2015, la somme de 10'888.20 francs au moins à Y.________, au titre de l’assurance perte de gain.
B. a) Le 5 février 2019, X.________ a ouvert action contre A.________ SA, devant le Tribunal civil des Montagnes et du Val-de-Ruz (ci-après : le Tribunal civil).