I. Die Beschwerde von A.________ wird teilweise gutgeheissen.
Die Verfügung vom 7. November 2012 wird in dem Sinn angepasst, dass A.________ vom
1. Januar 2009 bis 30. April 2009 Anspruch auf eine ganze Rente hat.
Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.
II. Die Verfahrenskosten werden auf 800 Franken festgesetzt. 700 Franken werden
A.________ auferlegt. Von deren Erhebung wird aufgrund der gewährten unentgeltlichen
Rechtspflege abgesehen. 100 Franken gehen zu Lasten der IV-Stelle.