I. Die Beschwerde wird im Sinne der Erwägungen teilweise gutgeheissen.

Der Einspracheentscheid der Öffentlichen Arbeitslosenkasse wird aufgehoben, soweit er die Zeitspanne vom 1. September bis 4. Oktober 2009 betrifft. Im Übrigen
wird er bestätigt. Die Angelegenheit wird an die Vorinstanz zurückgewiesen, damit
sie im Sinne der Erwägungen die übrigen Anspruchsvoraussetzungen auf Arbeitslosenentschädigung für die Zeit vom 1. September bis und mit 4. Oktober 2009
prüfe und neu entscheide.

II. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.