4.
Die Beschwerde ist teilweise gutzuheissen. Das Dispositiv des angefochtenen Entscheides ist dahingehend zu ändern, dass die Rechtswidrigkeit der Haft zwischen dem 10. März (00.00 Uhr) und dem 12. März 2021 (09.12 Uhr) mangels formgültigen Hafttitels festgestellt wird. Im Kostenpunkt ist auf die Beschwerde nicht einzutreten.
Gerichtskosten sind nicht zu erheben (Art. 66 Abs. 1 und Abs. 4 BGG). Dem Rechtsvertreter des Beschwerdeführers ist eine angemessene Parteientschädigung zuzusprechen (Art. 68 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht: