Zudem seien die Kosten des vorinstanzlichen Verfahrens (in Abänderung von Dispositiv Ziffer 4 des angefochtenen Entscheides) auf die Staatskasse zu nehmen.
Die Staatsanwaltschaft hat am 22. April 2021 auf eine Stellungnahme verzichtet. Das Obergericht beantragt mit Vernehmlassung vom 23. April 2021 die Abweisung der Beschwerde, soweit auf sie einzutreten ist. Innert der auf den 30. April 2021 angesetzten (fakultativen) Frist ist keine Replik des Beschwerdeführers eingetroffen.
Erwägungen: