2.
Das Gesuch des Beschwerdeführers um unentgeltliche Rechtspflege wird gutgeheissen.
2.1. Es werden keine Gerichtskosten erhoben.
2.2. Rechtsanwalt Rainer Niedermann wird für das bundesgerichtliche Verfahren mit Fr. 3'000.-- aus der Bundesgerichtskasse entschädigt.
3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.
4.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Staatsanwaltschaft Bischofszell, B.________, C.________, D.________ und dem Obergericht des Kantons Thurgau schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 10. November 2021
Im Namen der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung
des Schweizerischen Bundesgerichts
Das präsidierende Mitglied: Chaix
Der Gerichtsschreiber: Baur