Die Generalstaatsanwaltschaft des Kantons Thurgau beantragt Nichteintreten auf die Beschwerde, eventualiter deren Abweisung. Das Obergericht schliesst auf Abweisung der Beschwerde. A.________ hat am 3. Mai 2022 eine weitere Stellungnahme eingereicht.
Mit Verfügung vom 30. März 2022 hat das präsidierende Mitglied der I. öffentlich-rechtlichen Abteilung dem Gesuch um Erlass einer vorsorglichen Massnahme von A.____