3.
Die Beschwerde ist somit gutzuheissen und Dispositiv-Ziffer 1 des angefochtenen Beschlusses aufzuheben. Die Sache ist zur neuen Durchführung des Ausstandsverfahrens an die Vorinstanz zurückzuweisen. Damit erübrigt es sich, auf die weiteren Rügen der Beschwerdeführerin einzugehen.
Bei diesem Ausgang des Verfahrens sind keine Gerichtskosten zu erheben (
Art. 66 Abs. 1 und 4 BGG). Der Kanton Zürich hat die Beschwerdeführerin für das Verfahren vor Bundesgericht angemessen zu entschädigen (
Art. 68 Abs. 2 BGG).
Demnach erkennt das Bundesgericht: