D.-Gegen den Entscheid des Verwaltungsgerichtes gelangte B.________ mit staatsrechtlicher Beschwerde vom 27. September 1999 an das Bundesgericht. Er rügt eine willkürliche Anwendung des kantonalen Rechts, eine Verletzung des "verfassungsmässigen Rechts auf Gewährung der unentgeltlichen Rechtspflege bzw. Rechtsverbeiständung" sowie eine Missachtung des rechtlichen Gehörs. Der Beschwerdeführer beantragt die Aufhebung des angefochtenen Entscheides, soweit ihm darin die unentgeltliche Rechtsverbeiständung verweigert wird.
Das Sozialamt und das Verwaltungsgericht des Kantons Luzern beantragen in ihren Vernehmlassungen je die Abweisung der Beschwerde.