1.
Le recours est admis et le jugement du Tribunal des assurances du canton de Vaud du 29 juin 2005 est annulé.
2.
La demande est admise en ce sens que la Caisse de pensions de X.________ est tenue de verser au recourant au titre de supplément fixe (ou rente complémentaire d'invalidité) un montant mensuel de 1'763 fr. 75 à partir du 1er août 2002, avec intérêts à 5 pour cent l'an à partir du 10 février 2003.
3.
La demande reconventionnelle tendant au remboursement du montant de 45'857 fr. 50 est rejetée.
4.
Il n'est pas perçu de frais de justice.
5.
L'intimée versera au recourant un montant de 2'500 fr. (y compris la taxe sur la valeur ajoutée) à titre de dépens pour la procédure fédérale.