Demnach stellt das Schweizerische Bundesgericht fest:
1. Die Anliegen in Bezug auf das Verfahren E-3476/2017 sind unzulässig.
2. Der Anzeige wird keine Folge geleistet.
3. Es werden keine Kosten erhoben.
4. Diese Feststellung wird dem Bundesverwaltungsgericht, Verwaltungskommission, schriftlich mitgeteilt. Dem Anzeiger wird eine Orientierungskopie zugestellt.
Lausanne, 29. Juni 2023
Im Namen der Verwaltungskommission des Schweizerischen Bundesgerichts
Der Präsident: Donzallaz
Der Generalsekretär: Lüscher