3.
Damit ist die Beschwerde abzuweisen. Das Beschwerdeverfahren ist grundsätzlich kostenlos (Art. 20a Abs. 1 SchKG), und es darf keine Parteientschädigung zugesprochen werden (Art. 62 Abs. 2 GebV SchKG).
Demnach erkennt die Kammer:
1.
Die Beschwerde wird abgewiesen.
2.
Dieses Urteil wird dem Beschwerdeführer, der Beschwerdegegnerin, dem Betreibungsamt A.________ und dem Obergericht des Kantons Zürich, II. Zivilkammer, als obere kantonale Aufsichtsbehörde in Schuldbetreibungs- und Konkurssachen, schriftlich mitgeteilt.
Lausanne, 14. Juli 2004
Im Namen der Schuldbetreibungs- und Konkurskammer
des Schweizerischen Bundesgerichts
Die Präsidentin: Die Gerichtsschreiberin: