A.
A.a. Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich führt eine Strafuntersuchung gegen A.________ wegen versuchter Anstiftung zum Mord. Ihm wird vorgeworfen, am 3. Januar 2023 im Darknet auf der Plattform "Online Killers Market" unter dem Pseudonym "xxx" eine ihm unbekannte Drittperson mit der Tötung seiner Ex-Partnerin beauftragt zu haben. Hierfür habe er über ein Konto bei der Handelsplattform "Kraken" bzw. über ein privates Wallet Bitcoins in der Höhe von rund USD 20'000.-- bezahlt. Als Tatmotiv vermutet die Staatsanwaltschaft einen seit Jahren dauernden Konflikt zwischen A.________ und seiner Ex-Partnerin wegen der Kinderbelange bzw. Unterhaltszahlungen.
A.b.