A.
A.a. Die Staatsanwaltschaft I des Kantons Zürich führte eine Strafuntersuchung gegen A.________ wegen versuchter Anstiftung zu Mord und weiterer Delikte. Sie wirft ihm zusammengefasst vor, am 3. Januar 2023 im Darknet auf der Plattform "Online Killers Market" unter dem Pseudonym "B.________" eine ihm unbekannte Drittperson mit der Tötung seiner Ex-Partnerin beauftragt und dafür Fr. 20'000.-- in Bitcoin bezahlt zu haben, ohne dass der Auftrag ausgeführt worden sei. Der Tatvorwurf steht vor dem Hintergrund eines langjährigen Konflikts wegen der Kinderbelange bzw. Unterhaltszahlungen. Ausserdem soll A._____