1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und die Verfügung vom 19. August 2016
wird aufgehoben. Der Beschwerdeführerin wird für das Ausbildungsjahr 2015/2016
ein Ausbildungsbeitrag von 9'006 Franken zugesprochen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.

2. Das Gesuch um unentgeltliche Rechtspflege wird als erledigt vom Geschäftsverzeichnis abgeschrieben.

3. Es werden keine Verfahrenskosten erhoben.

4. Der Kanton Bern hat der Beschwerdeführerin einen Parteikostenbeitrag von 2'030.85
Franken zu bezahlen.

5. Zu eröffnen:
- Rechtsanwalt (Einschreiben)
- Amt für zentrale Dienste, Abteilung Ausbildungsbeiträge