Aus diesen Gründen entscheidet die Bildungs- und Kulturdirektion:

1. Die Beschwerde wird teilweise gutgeheissen und die Verfügung vom 14. Januar 2021
wird aufgehoben. A___ wird der allfällige ausserkantonale Besuch der Sekundarstufe I in
der französischsprachigen Abteilung der Orientierungsschule Region J___ ohne Kostengutsprache im Sinne der Erwägungen bewilligt. Soweit weiter gehend wird die Beschwerde abgewiesen.

2. Ein Verfahrenskostenanteil von 450 Franken wird A___ zur Bezahlung auferlegt.

3. Der Kanton Bern bezahlt A___ einen Parteikostenbeitrag von 2'055.05 Franken.