1. Le recours du 8 mars 2019 est rejeté dans la mesure où il est recevable.
La décision de police des constructions du 4 février 2019 est confirmée.

2. Les frais de procédure par 1'600 fr. sont mis à la charge du recourant.

3. Le recourant versera à l'intimée la somme de 1'677 fr. 20 à titre de dépens.

IV. Notification

- Me D.________, par courrier recommandé
- Me F.________, par courrier recommandé
- Commune de Mont-Tramelan, par courrier recommandé
- Office des affaires communales et de l'organisation du territoire (OACOT), Unité
francophone, par courriel

Direction des travaux publics et des transports
Le directeur