4. a) Die Beschwerdeführenden haben dem Beschwerdegegner einen
Parteikostenanteil von insgesamt Fr. 2'221. 35 (inkl. Mehrwertsteuer) zu ersetzen.
Die Beschwerdeführenden haften solidarisch für den gesamten Betrag.

b) Die Gemeinde Mühlethurnen hat dem Beschwerdegegner einen Parteikostenanteil
von insgesamt Fr. 740.45 (inkl. Mehrwertsteuer) zu ersetzen.

5. a) Der Beschwerdegegner hat den Beschwerdeführenden einen Parteikostenanteil
von insgesamt Fr. 458.55 (inkl. Mehrwertsteuer) zu ersetzen.