1. 1.1 Vor dem Regionalgericht Bern-Mittelland (nachfolgend: Regionalgericht), Gerichtspräsidentin C.________ (nachfolgend: Gesuchsgegnerin), ist ein Strafverfahren gegen A.________ (nachfolgend: Gesuchsteller) wegen betrügerischen Missbrauchs einer Datenverarbeitungsanlage und Widerhandlung gegen das Waffengesetz hängig. Mit Verfügung vom 4. Oktober 2022 und Schreiben vom 6. Juli 2023 edierte die Gesuchsgegnerin bei der D.________ AG ergänzende Unterlagen und legte dieser einen Fragenkatalog zur Beantwortung vor. Nach Eingang der zusätzlichen Unterlagen bzw. Antworten der D.___