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8. Nach dem Gesagten ist die Beschwerde begründet. Ziffer 1 des angefochtene Entscheids des Zwangsmassnahmengerichts vom 31. August 2020 wird aufgehoben.
Die Untersuchungshaft wird verlängert und der Beschuldigte bleibt bis am 23. Oktober 2020 in Untersuchungshaft.

9. Bei diesem Ausgang des Beschwerdeverfahrens wird der Beschuldigte kostenpflichtig (Art. 428 Abs. 1 StPO). Die Entschädigung der amtlichen Verteidigung für
ihre Aufwendungen im Beschwerdeverfahren wird am Ende des Verfahrens festgesetzt (Art. 135 Abs. 2 StPO).