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Demnach erkennt das Obergericht:

1. In teilweiser Gutheissung der Beschwerde von A___ wird die angefochtene Verfügung vom
12. April 2016 aufgehoben und die Vorinstanz angewiesen, diesem den Aufenthalt in der
psychiatrischen Klinik Littenheid in der Zeit vom 1. bis und mit 8. Februar 2016 zu bezahlen. Im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.