7.
Die Beschwerde gegen die "Verfügung" des Bezirksgerichts Aarau vom
4. April 2024 erweist sich als unbegründet und ist demzufolge abzuweisen.

8.
8.1.
Die Kosten des Beschwerdeverfahrens sind ausgangsgemäss dem mit seiner Beschwerde unterliegenden Beschwerdeführer aufzuerlegen (Art. 428
Abs. 1 StPO).

8.2.
Die Entschädigung der amtlichen Verteidigerin für dieses Beschwerdeverfahren ist am Ende des Strafverfahrens von der dannzumal zuständigen
Instanz festzulegen (Art. 135 Abs. 2 StPO).

Die Beschwerdekammer entscheidet:

1.
Die Beschwerde wird abgewiesen, soweit darauf eingetreten wird.