5.3.
Der Beschwerdeführerin und der Beschwerdegegnerin steht aufgrund ihrer
Stellung als Sozialversicherungsträgerinnen (BGE 126 V 143 E. 4
S. 149 ff.) kein Anspruch auf Parteientschädigung zu. Ausgangsgemäss
hat ferner der Beigeladene ebenso keinen Anspruch auf Ersatz der Parteikosten (Art. 61 lit. g ATSG).

Das Versicherungsgericht erkennt:

1.
In teilweiser Gutheissung der Beschwerde werden die Verfügungen vom
13. Januar und 10. Februar 2023 aufgehoben und die Sache zur weiteren
Abklärung im Sinne der Erwägungen und zur Neuverfügung an die Beschwerdegegnerin zurückgewiesen.

2.
Die Verfahrenskosten von Fr. 800.00 werden der Beschwerdegegnerin auferlegt.