1.
In teilweiser Gutheissung der Beschwerde, soweit darauf eingetreten wird,
wird der Einspracheentscheid vom 13. September 2023 aufgehoben und
die Beschwerdegegnerin verpflichtet, das Taggeld über den 30. Juni 2023
hinaus im bisherigen Umfang einer 100%igen Arbeitsunfähigkeit zu bezahlen; im Übrigen wird die Beschwerde abgewiesen.

2.
Es werden keine Verfahrenskosten erhoben.

3.
Die Parteientschädigung wird richterlich auf Fr. 3'658.30 festgesetzt.

Die Beschwerdegegnerin wird verpflichtet, MLaw Kemal Tasdemir-Graf,
Rechtsanwalt, zwei Fünftel der Parteientschädigung, Fr. 1'463.30 ausmachend, zu bezahlen.