1.
In teilweiser Gutheissung der Beschwerde wird der Einspracheentscheid
vom 13. Januar 2022 aufgehoben und die Sache im Sinne der Erwägungen
und zur neuerlichen Entscheidung an die Beschwerdegegnerin zurückgewiesen.

2.
Es werden keine Verfahrenskosten erhoben.

3.
Es werden keine Parteientschädigungen zugesprochen.

Zustellung an:
die Beschwerdeführerin
die Beschwerdegegnerin
das Staatssekretariat für Wirtschaft (seco)
das Amt für Wirtschaft und Arbeit (AWA)

Beschwerde in öffentlich-rechtlichen Angelegenheiten