4.
4.1.
In Gutheissung der Beschwerde ist der Einspracheentscheid vom 2. November 2021 aufzuheben und die Sache an die Beschwerdegegnerin zurückzuweisen, damit diese den Anspruch des Beschwerdeführers unter Berücksichtigung der Tagestaxe von Fr. 250.00 ermittle.

4.2.
Das Verfahren ist kostenlos (Art. 61 lit. a ATSG).

4.3.
Ausgangsgemäss hat der Beschwerdeführer Anspruch auf Ersatz seiner
richterlich festzusetzenden Parteikosten (Art. 61 lit. g ATSG), denn die
Rückweisung der Sache an die Verwaltung zwecks Vornahme ergänzender Abklärungen gilt als anspruchsbegründendes Obsiegen (BGE 132
V 215 E. 6.1 S. 235 mit Hinweisen). Diese sind dem unentgeltlichen
Rechtsvertreter zu bezahlen.